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'전자공학이론'에 해당되는 글 66

  1. 2015.12.10 Binary Tree
  2. 2015.12.10 Spanning Tree
  3. 2015.12.10 Tree
  4. 2015.12.09 Isomorphic Graphs / Homeomorphic graphs/ Planar graph
  5. 2015.12.09 A shortest-path algoritnm
  6. 2015.12.09 Euler cycle & Hamiltonian cycle
  7. 2015.12.09 Graph
  8. 2015.10.20 [physical Layer] Packet Switched Network
  9. 2015.10.20 [physical Layer] TDM
  10. 2015.10.20 [physical Layer] 전송 모드
2015. 12. 10. 02:37

Binary Tree 전자공학이론/이산수학2015. 12. 10. 02:37

Binary Tree

A binary tree is a rooted tree where each vertex has zero, one or two children.

Isomorphic binary trees

Let T1 be a binary tree with root r1 and let T2 be a binary tree with root r2. 

The binary trees T1 and T2 are isomorphic if there is one-to-one, onto function f from the vertex set of T1 to the vertex set of T2 satistying the following:

(a) T1 and T2 are isomorphic as rooted trees through an isomorphism f.

(b) v is a left (right) child of w in T1 if and only if f(v) is a left (right) child of f(w) in T2.

Terminal vertices and Height

If a binary tree of height h has t terminal vertices, then

t<=2^h

Full binary tree

A full binary tree is a binary tree in which each vertex has two or no children.

If T is a full binary tree with i internal vertices, then T has i+1 terminal vertices and 2i+1 total vertices.





Binary Search Tree

A binary search tree is a binary tree T in which data are associated with the vertices. for each vertex v in T, each data item in the left subtree of v is less than the data item in v, and each data item in the right subtree of v is greater than the data item in v.




Decision Tree

Decision Tree is a rooted tree If we begin at the root, answer each question, and follow the appropriate edge, so that we eventually arrive at a  deciding terminal vertex

Theorem

when a problem has t number of all possible result , if the decision tree has n possible answering number per one vertex and h height, then   

t<=n^h








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2015. 12. 10. 01:32

Spanning Tree 전자공학이론/이산수학2015. 12. 10. 01:32

Spanning Tree

A tree T is a spannig tree of a graph G if T is a subgraph of G that contains all of the vertices of G.


method to find a spanning tree

Breadth-First search is a method to process all the vertices on a given level before moving to the next-higher level.

Depth-First search is a method to proceeds to successive levels in a tree at the earliest possible opportunity.

Breadth-First search       Depth-First search

      


Minimal spanning tree

Let G be a weighted graph. A minimal spanning tree of G is a spanning tree of G with minimum weight.


Algorithm to find a minimal spanning tree

Prim's Algorithm begins with a single vertex. Then at each iteration, it adds to the current tree a minimum-weight edge that does not complete a cycle.

Kruskal's algorithm find the edge in the graph with smallest weight that does not complete a cycle.

Prim's Algorithm

Kruskal's algorithm







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2015. 12. 10. 01:21

Tree 전자공학이론/이산수학2015. 12. 10. 01:21

Tree

A (free) tree T is a simple graph such that for every pair of vertices v and w there is a unique path from v to w.

A rooted tree is a tree where one of its vertices is designated the root.


Isomorphic rooted trees

Let T1 be a rooted tree with root r1 and let T2 be a rooted tree with root r2. 

The rooted trees T1 and T2 are isomorphic if there is a one-to-one, onto function f from the vertex set of T1 to the vertex set of T2 satisfying the following:

(a) (vi, vj) ∈ T1 if and only if (f(vi), f(vj)) ∈ T2.

(b) f(r1) = r2.


Level & height

The level of a vertex v is the length of the simple path from the root to v.

The height of a rooted tree is the maximum level number of its vertices.


Terminology

Let T be a tree with root v0. Suppose that x, y and z are vertices in T and that (v0, v1, ..., vn) is a simple path in T, then

(a) the parent of v(n) is v(n-1).

(c) a child of v(n-1) is vn.

(b) ancestors of v(n) are v0, ..., v(n-1).

(d) descendants of v(n-2) are v(n-1), vn.

(e) x and y are siblings if x and y are children of z.

(f) a terminal vertex (or a leaf) is a vertex that has no children.

(g) an internal (or branch) vertex is a vertex that has at least one child. 

(h) a subtree T' of a tree T is a graph where

V(T') = { v0 and the descendants of v0 }

E(T') = { e | e is an edge on a simple path from v0 to some vertex in V(T') }


Theorem

Let T be a graph with n vertices. The following are equivalent.

(a) T is a tree.

(b) T is connected and acyclic.

(c) T is connected and has n-1 edges. //vertex들을 연결할 수 있는 최소한의 구조

(d) T is acyclic and has n-1 edges.











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Isomorphic Graphs

Graphs G1 and G2 are isomorphic if there is a one-to-one, onto function f from the vertices of G1 to vertices of G2 and a one-to-one, onto function g from the edges of G1 to the edges of G2, so that e=(v,w) in G1 if and only if g(e)=(f(v), f(w)) in G2.

Theorem

Graphs G1 and G2 are isomorphic if and only if for some ordering of their vertices, their adjacency matrices are equal.




Homeomorphic graphs

Graphs G1 and G2 are homeomorphic if G1 and G2 can be reduced to isomorphic graphs by performing a sequence of series reductions




Planar graph

A graph is planar if it can be drawn in the plane without its edges crossing,

Theorem 1

if G is a connected planar graph, then v-e+f=2 and 2e>=sf.

v=number of vertices

e=number of edges

f=number of faces, including the exterior face

s=minimum number of edges for making a face

Theorem 2

G is a planar graph if and only if G does not contain a subgraph homeomorphic to either K5 or K3,3.

following graph is not planar:








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2015. 12. 9. 20:58

A shortest-path algoritnm 전자공학이론/이산수학2015. 12. 9. 20:58

Dijkstra's Algorithm

Input:    A connected, weighted graph in which all weights are positive;

vertices a and z

Output:    L(z), the length of a shortest path from a to z

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dijkstra(w, a, z, L){
    L(a) = 0
    for all vertices x≠a
        L(x) = ∞
    T = set of all vertices
 
    while(z∈T){
        choose v∈T with minimum L(v)
        T = T-{v}
        for each x∈T adjacent to v
            L(x) = min{L(x), L(v) + w(v, x)}
    }
}
cs

2~5행:     vertex a의 길이를 0으로 설정하고 a를 제외한 나머지 vertex의 L은 ∞로 설정한다. T는 그래프              의 모든 vertex의 집합이다.

8~11행:     T안에있는 vertex 중에서 L이 최소인 vertex v를 선택하고 그 v를 집합 T에서 삭제한다. T에                 포함되어 있는 것중 v와 연결되어 있는 vertex에 대하여, L를 업데이트한다. 이것은 z가 T에                 포함되지 않을 때가지 반복한다.

 ***최소 path 찾기*** vertex에 label을 붙일 때, 최소 길이 뿐만아니라 이어지는 바로 전 vertex의 이름을 같이 적으면 두 vertex 사이의 최소 path를 찾을 수 있다.






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Euler cycle

An Euler cycle in a graph G is a cycle that passes through every edge of G only once.

Theorems

A graph G has an Euler cycle if and only if G is a connected graph and every vertex has even degree.




Hamiltonian cycle 

Hamiltonian cycle in a graph G is a cycle that visit every vertex of G only once by a simple cycle.

n-Cube

The n-cube, denoted I^n (n>=1), has 2^n vertices labeled 0, 1, 2, ..., 2^(n-1) , and edges connecting two vertices if the binary representation of their labels differ in exactly one bit.

n-Cube can be made from (n-1)-Cube by the following rules:

1) Let H1 and H2 be two (n-1)-Cubes whose vertices are labeled in binary 0, ..., 2^(n-1)-1.

2) Place an edge between each pair of vertices, one from H1 and one from H2, provided that the vertices have identical labels.

3) Change the label L on each vertex in H1 to 0L and change the label L on each vertex in H2 to 1L.

Gray code and Hamiltonian cycle 

 The n-Cube has a Hamiltonian cycle(n>=2).

Let Gn a n-bit Gray code, then that is a Hamiltonian cycle in n-Cube.

Gn is made from G(n-1) by the following rules:

(a) Let G^R(n-1) denote the sequence G(n-1) written in reverse.

(b) Let G'(n-1) denote the sequence obtained by prefixing each member of G(n-1) with 0.

(c) Let G''(n-1) denote the sequence obtained by prefixing each member of G^R(n-1) with 1.

(d) Let Gn be the sequence consisting of G'(n-1) followed G^n(n-1).










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2015. 12. 9. 10:36

Graph 전자공학이론/이산수학2015. 12. 9. 10:36

Graph

A graph(or undirected graph) G consists of a set V of vertices(or nodes) and a set E of edges(or arcs) such that each edge e∈E is associated with an unordered pair of vertices.

G = (V , E)


A simple graph is a graph without loops or parallel edges.


Subgraph

Let G = (V, E) be a graph, we call (V', E') a subgraph of G if

(a) V'⊆V

(b) E'⊆E such that for every edge e'∈E', if e' is incident on v' and w', then v',w'∈V'.




Degree

The degree of a vertex v, denoted by δ(v), is the number of edges incident on v.

Theorems

if G is a graph with n vertices and m edges, then

sum(δ(vi))[i=1~n] = 2m


Path

A path from vo to vn of length n is an alternation sequence of n+1 vertices and n edges beginning with vertex vo and ending with vertex vn,

(vo, e1, v1, e2, v2, ..., vn-1, en, vn),

in which edge ei is incident on vertices vi-1 and vi for i = 1, ..., n


A simple path from v to w is a path from v to w with no repeated vertices.

Theorems

A graph has a path with no repeated edges from v to w(v≠w) containing all the edges and all vertices if and only if it is connected and v and w are the only vertices having odd degrees.


Cycle

A cycle(or circuit) is a path of nonzero length from v to v with no repeated edges.


A simple cycle is a cycle from v to v in which, except for the beginning and ending vertices that are both equal to v, there are no repeated vertices.

Theorems

If a graph G contains a cycle from v to v, G contains a simple cycle from v to v




connected

The connected graph is the graph in which for any vertices v and w in G, there is a path from v to w.


Complete 

The complete graph on n vertices, denoted Kn, is the simple graph with n vertices in which there is an edge between every pair of distinct vertices.


Bipartite

The bipartite graph is the graph whose vertex set V is partitioned into sets V1 and V2 such that V1V2 = Φ, V1V2 = V, and each edge in E is incident on one vertex in V1 and one vertex in V2.


The complete bipartite graph on m and n vertices, denoted Km,n, is the simple graph whose vertex set is partitioned into sets V1 with m vertices and V2 with n vertices, and the edge set consists of all edges of the form (v1, v2) with v1∈V1, and v2∈V2. 








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A shortest-path algoritnm  (0) 2015.12.09
Euler cycle & Hamiltonian cycle  (0) 2015.12.09
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5. Proposition  (0) 2015.10.17
4. function  (0) 2015.10.17
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Posted by youjin.A

컴퓨터와 컴퓨터가 데이터를 송수신 할 때, 망에 중간노드가 이 프레임(데이터)을 중계하여 목적지에 전달하는 방식을 Switched Network라고 한다. 이 방식에는 중간 노드의 전달 방식에 따라 circuit switching과 packet switching으로 구븐된다. circuit switching은 전화같은 아날로그에서 사용되는 데 이에 대한 내용은 생략한다.

packet switching 방식은 전송할 데이터를 패킷(Packet)이라는 단위로 분할한 후, 필요한 제어 정보(주소, 오류 검출 정보 등)를 붙여서 망에 투입한다. 패킷은 중간노드(라우터)의 메모리에 저장되고, 중간노드는 이 패킷의 목적지 주소를 보고  패킷을 목적지로 전달하기위해 다음 노드로 전달한다.

이 방식은 나중에 도착한 패킷은 먼저 도착한 것들이 다 전달될 때까지 기디리기 때문에 delay가 생길 수 있다. 그래서 N명의 사용자가 데이터를 동시에 보내면 전송률은 1/N이 된다.

Packet Switched Network에는 두 가지 종류가 있다.

1. 발신지에서 목적지까지 정해진 연결이 없이 각 패킷이 독립적으로 전달되는  Datagram Network

2. 패킷이 동일한 경로를 통하여 지나가는 Virtual Circuit Network


1. Datagram Network

Datagram Network는 Internet의 대표적인 네트워킹 방식이다.

이 방식은 전송선 연결을 수행하지 않고 각 데이터에 목적지의 주소 정보를 부착하여 그대로 전송하는 방식이다. 중간 노드(라우터)에 도착하는 각 패킷들은 패킷이 가지고 있는 목적지 주소에 따라 라우터에 의해 독립적으로 전송되어진다. 그래서 목적지에 도착하는 하나의 메세지를 이루는 패킷들은 순서가 맞지 않을 수 있다. 

패킷의 전제 전송 과정에서 패킷 헤더에 있는 목적지 주소는 변하지 않으며 이 주소에 의해 라우팅 테이블을 가지고 있는 라우터가 패킷을 전송(forwarding) 한다.


2. Virtual Circuit Network

각 패킷은 목적지 주소 대신에 virtual-circuit identifier(VCI)를 가지고 있다.  패킷을 전송하기 전에 발신지와 목적지간에 연결을 설립하여 그 연결된 라우터 번호로만 패킷을 전송한다. 여기서 주의할 점은 경로가 고정되어 있는 것은 아니라는 것이다. 라우터의 DI값을 바꾼다면 경로는 바뀐다.  


Virtual Circuit를 설립하는 과정은 다음과 같다. 송신지 노드가 연결을 요구하는 제어 패킷(송/ 수신 노드의 주소정보 포함)을 라우터에 전송한다. 그러면 각 라우터들은 목적지 주소에 따라 virtual circuit 테이블을 완성시키면서 다음 라우터에게 전달한다. 송신지의 패킷을 받은 수신지 노드는 연결 응답을 송신지에 돌려준다. 이러한 과정에 따라 각 경로 상의 라우터들은 논리적인 가상 회선 테이블을 완성한다. 

이렇게 가상 회선 테이블을 완성한 후에는 송신자는 자신에게 할당된 VCI값에 의해 데이터 전송을 한다. 그래서 주소 정보대신 VCI 값만을 가지게 된다. 





Chapter 8

P8-1 Transmission of information in any network involves end-to-end addressing and sometimes local addressing (such as VCI). Table 8.1 shows the types of networks and the addressing mechanism used in each of them.

Network

Setup

Data Transfer

Teardown

Circuit-switched

End-to-end

 

End-to-end

Datagram

 

End-to-end

 

Virtual-circuit

End-to-end

Local

End-to-end

Answer the following questions:

a. Why does a circuit-switched network need end-to-end addressing during the setup and teardown phases? Why are no addresses needed during the data transfer phase for this type of network?

circuit-switched network에서 시작과 끝에 end-to-end addressing을 하는 이 유는 전체 데이터 전송동안의 연결을 만들기 위해서이다. 연결이 만들어 지고 난 다음에는 이미 예약된 자원을 통해 전송되어진다. 스위치는 전체 전송 기간동안에 연결된 상태를 유 지한다. 그래서 더 이상의 adressing은 필요하지 않다.

 

b. Why does a datagram network need only end-to-end addressing during the data transfer phase. but no addressing during the setup and teardown phases?

데이터그램 네트웍에서는 각각의 패킷은 독립적이다. 패킷의 라우팅은 개개의 패킷으로 정 해지기 때문에 각 패킷은 end-to-end address가 필요하다. 데이터그램 네트웍에서는 시작과 끝 기간이 필요없다.

 

c. Why does a virtual-circuit network need addresses during all three phases?

스위칭 테이블에 적합한 경로를 만들기 위해서이다.

 

P8-9 A path in a digital circuit-switched network has a data rate of 1 Mbps. The exchange of 1000 bits is required for the setup and teardown phases. The distance between two parties is 5000 km. Answer the following questions if the propagation speed is 2*10^8m:

우리는 설정 기간은 두 방식 통신으로, 연결 끊기 기간은 한 방식 통신으로 가정한다. 두 기간들을 모든 세 경우에 일반적이기 때문이다. 이 두 기간에 대한 딜레이는 세 지연 시간과 세 전송 시간으로 계산할 수 있다.

3[(5000km)/(2*10^8 m/s)] + 3[(1000bits/1Mbps)] = 75ms + 3ms =78ms

 

a. What is the total delay if 1000 bits of data are exchanged during the data transfer phase?

데이터 전송은 한 방향으로 가정하자. 그러면 전체 딜레이는 설정+연결끊기 기간+ 지연 시간+ 전송시간이다.

78+25+1=104ms

 

b. What is the total delay if 100,000 bits of data are exchanged during the data transfer phase?

78+25+100+203ms

 

c. What is the total delay if 1,000,000 bits of data are exchanged during the data transfer phase?

78+25+1000=1103ms

 

d. Find the delay per 1000 bits of data for each of the above cases and compare them. What can you infer?

a. 104ms

b. 203ms/100 = 2.3ms

c. 1103ms/1000 = 1.103ms

데이터를 연결 후 한 번에 많이 보낼수록 이득이다.

 

 





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Posted by youjin.A
2015. 10. 20. 04:45

[physical Layer] TDM 전자공학이론/데이터 통신2015. 10. 20. 04:45

Multiplexing이란 여러 개의 저역 링크를 묶어서 하나의 큰 대역 링크로 동시에 보내는 테크닉이다. 


여기서, TDM(Time Division Multiplexing)이란 여러 개의 디지털 데이터 전송을 전송률이 높은 큰 하나의 디지털 링크로 묶어서 시간마다 번갈아가며 데이터를 보내는 방식이다.

TDM에는 두가지 종류가 있는데

1. Synchronous TDM

2. Internet에 이용되는 statistical TDM이 있다.


1. Synchronous Time-Division Multiplexing

여러개의 디지털 신호를 하나의 고속 링크로 Multiplexing하기 위해서는 각 Digital source에서 한번에 전송하는 데이터의 bit duration(T)과 출력의 frame duration(T)이 같아야 한다.  

예를 들어 각 입력 연결의 bit rate가 1kbps이고 한번에 한 비트씩 Multiplexing될 경우, 각 Digital source의 bit duration = 1(bit rate)=1/1kbps = 1ms이고 출력 프레임의 frame duration 또한 1ms이다. 여기서 입력 회선이 3개이면 출력의 한 비트당 bit duration은 입력의 1/3배가 되어 0.3ms가 된다.

Synchronous TDM의 문제점은 입력 채널의 전송 데이터가 없을 경우 빈 슬롯이 할당된다.

고속의 TDM의 경우 synchronization문제가 발생 할 수 있기 때문에 이를 위한 비트는 추가한다.


2. statistical Time-Division Multiplexing

sync TDM은 입력 채널의 데이터가 없을 경우 빈 슬롯이 할당되어 대역폭 낭비를 초래한다. 컴퓨터 등에서 발생하는 데이터는 일반적으로 비연속적으고 간헐적으로 많은 데이터가 몰리는 특성을 가지기 때문에 sync TDM은 맞지않다.

 이에 대한 해결방안으로 statistical TDM은 입력 채널에 데이터가 있을 때만 슬롯을 할당하는 방식이다. 일반적으로 각 입력 채널에 버퍼를 설치하여 데이터를 임시 보관한다. 데이터를 출력하기 위해서는 그 구분을 위해 각 슬롯에 주소 지정이 필요하고, 따라서 주소를 위한 오버헤드가 발생한다.


실제로는 statistical TDM은 많이 사용하지 않지만, 현재 인터넷(패킷 교환망)은 일종의 statistical TDM이라고 볼 수 있다.





Chapter 6

Q6-1 Distinguish between synchronous and statistical TDM.

두 방식의 주요한 차이점은 타임 슬롯이 전송 장치에 따라서 다르다는 것이다.

동기화 방식에서는 한 장치에서 데이터를 보내지 않을 경우 타임 슬롯이 낭비되는 데, 를 해결 하기위하여 통계적인 TDM이 나왔다. 통계적 TDM은 테이터를 보낼 경우에만 헤 더를 붙여서 타임슬롯을 할 당하기 때문에 낭비되는 타임 슬롯이 없다

 

P6-1 We need to use synchronous TDM and combine 20 digital sources, each of 200Kbps. Each output slot carries 2 bit from each digital source, but one extra bit is added to each frame for synchronization. Answer the following questions:

a. What is the size of an output frame in bits?

출력 frame은 각 입력 회선의 2bit를 전송한다

거기에 frame 끝에 1extra bit를 붙 인다. frame size = 20*2 + 1 = 41bits

b. What is the output frame rate?

각 출력 frame2bit를 전송한다. 따라서 각 입력 회선의 2bitbit rate과 출력의 frame rate이 같아야 한다

frame rate = 200K*1/2 = 100K frame/s

c. What is the duration of an output frame?

frame duration = 1/(frame rate) = 1/100K= 0.01ms

d. What is the output data rate?

(100K frame/s) * (41bit/frame) = 4.1Mbps

e. What is the efficiency of the system(ratio of useful bits to total bits)?

frame41비트당 40비트가 useful하다. 따라서 40/41 * 100 = 97%

 

P6-11 Assume that a voice channel occupies a bandwidth of 4KHz. We need to multiplex 12 voice channels with guard band of 500Hz using FDM. Calculate the required bandwidth.

(4KHz*12) + (500Hz*11) = 53.5KHz

 

P6-14 Answer the following questions about a T-1 line:


a. What is the duration of a frame?

(sec/frame) = 1/64k(sec/bit) * 8(bit) = 125us

b. What is the overhead(number of extra bits per second)?

(frame/sec) = 8000bps







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Posted by youjin.A

디지털 신호를 전송하는 방식에는 크게 두가지가 있다.

여러 개의 회선을 이용하여 동시에 전송하는 병렬 전송이 있는데 이것은 전송 속도는 빠르나 비용문제가 있어 LAN 등의 근거리에 주로 사용한다.

그에 반해, 직렬 전송은 하나의 회선으로 한 비트 씩 전송하는 방식으로 비용이 절감되는 장점 때문에 주로  이용된다.

직렬 전송에는 다시 Asynchronous transmission과 synchronous transmission이 있다.


1. Asynchronous transmission 

클럭 신호를 주는 별도의 선이 없이 sender와 receiver가 별로의 clock을 사용한다.

주로 문자 단위로 전송을 하는데 문자 동기화를 위해 Start bit와 Stop bit를 사용한다.



2. synchronous transmission

별도의 clock 선이나 clock 신호를 추출할 수있는 맨체스터 line coding같은 방식을 사용하여 clock을 서로 공유한다. 속도가 빠르기 떄문에 대부분의 데이터 통신에서 이용한다. 주로 데이터 링크층에서 이루어지로 수 백~ 수 천 비트들 프레임 단위로 모아서 전송한다.






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Posted by youjin.A